Бесплатная горячая линия

8 800 301 63 12
Главная - Другое - Правила с действеями с обыкновенными дробями

Правила с действеями с обыкновенными дробями

Правила с действеями с обыкновенными дробями

Правила арифметических действий над обыкновенными дробям

3/7=3*3/7*3=9/21, то есть 3/7=9/21 Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число. Например, дроби 3/5 и 9/15 будут равными, так как 3*15=5*9, то есть 45=45 Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби. Например, 45/60=15/​​20=9/12=3/4​ ​​(числитель и знаменатель делится на число 3, на 5 и на 15).

Несократимая дробь — это дробь вида 3/4​​, где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо: 1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители; 2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие множители из разложения второго знаменателя; 3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из первого разложения. Примеры: приведите дроби к общему знаменателю

. Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель 5 из второго разложения.

числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого разложения.

=

, 90 – общий знаменатель дробей . а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним.

Как видно на примере: a/b+c/b=(a+c)/b​​; б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а): 7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12 а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним: a/b-c/b=(a-c)/b​​; б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а). Умножение дробей подчиняется следующему правилу: a/b*c/d=a*c/b*d, то есть перемножают отдельно числители и знаменатели. Например: 3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

Деление дробей производят следующим способом: a/b:c/d=a*d/b*c, то есть дробь a/b умножается на дробь, обратную данной, то есть умножается на d/c. Пример: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28 Если a*b=1, то число b является обратным числом для числа a. Пример: для числа 9 обратным является 1/9​​, так как 9*1/9=1, для числа 5 — обратное число 1/5​​, так как 5*​1/5​​=1.

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10 000, …, 10^n10,1000,10000,.,10​n​​. Например: 6/10=0,6; 44/1000=0,044​. Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 51/10=5,1; 763/100=7,63 В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10. менателем, который является делителем некой степени числа 10. Пример: 5 — делитель числа 100, поэтому дробь 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2​0=0,2.

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

Выполняется аналогично сложению. При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно. Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3.

Имеем 27 \cdot 13=35127⋅13=351. Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=21+1=2).

В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,512,7⋅1,3=3,51. Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например: Для умножения на 10, 100, 1000, надо в десятичной дроби перенести запятую на 1, 2, 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей). Например: 1,47 \cdot 10 000 = 14 7001,47⋅10000=14700.

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное.

Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части. Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например: Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную.

Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12.

Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100, то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две).

Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112, то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю: Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь.

В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

Например, 2,8 : 0,09= 28/10 : 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9=​31 1/9​​.

Действия с обыкновенными дробями

Если числитель меньше знаменателя, то дробь является правильной.

Если числитель больше или равен знаменателю, то дробь неправильная. Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1. Сложение и вычитание правильных дробей. Чтобы сложить/вычесть правильные дроби надо привести их к общему знаменателю, затем сложить/вычесть числители, а знаменатель оставить без изменений.
Чтобы сложить/вычесть правильные дроби надо привести их к общему знаменателю, затем сложить/вычесть числители, а знаменатель оставить без изменений.

Сложение неправильных дробей (смешанных чисел). Для сложения неправильных дробей можно пользоваться таким же правилом, как и для правильных. Но обычно неправильные дроби представляют в виде смешанного числа, т.е.

выделяют целую часть. Для примера возьмем дробь

. Выделим из нее целую часть. Для этого в столбик разделим 7 на 3, частное будет являться целой частью, остаток — числителем, делитель — знаменателем (короче говоря, знаменатель остается без изменений). Получается, что

.

Чтобы сложить смешанные числа надо сложить их целые части, а затем дробные. Если дробная часть окажется неправильной, то из нее надо выделить целую часть и прибавить ее к уже имеющейся. Приведу очень подробно расписанный пример: Вычитание неправильных дробей (смешанных чисел).

Вычитать неправильные дроби можно также, как и правильные: привести к общему знаменателю и вычесть числители.

Но опять же, как и со сложением, принято представлять их сначала в виде смешанных чисел. Пример 1. В первом примере проблем никаких не возникает: невооруженным глазом видно (если не видно — приведите сначала дроби к общему знаменателю), что дробная часть первого числа больше дробной части второго, поэтому смело можно из целого вычитать целое, а из дробного — дробное. Обратите внимание, что конечный ответ должен быть представлен в виде несократимой дроби (во всех случаях!

просто до этого примера везло и попадались результаты в виде несократимых дробей).

Пример 2. Во втором примере не так всё гладко. Дробная часть первого числа меньше дробной части второго. В этом случае мы занимаем у 10 единицу, которую представляем в виде дроби 60/60, а затем прибавляем к уже имеющейся дробной части.

И наконец получаем нормальный пример, в котором дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого. Так было. Во времена незнания об отрицательных числах.

Я снова решу этот пример, но другим способом, а ты выбирай, какой больше нравится) Хочется сюда же впихнуть два примера, в которых из целых чисел будут вычитаться дробь и смешанное число. В этих двух случаях у целого числа занимается единица и представляется в виде неправильной дроби с необходимым знаменателем.

А вот и они: Умножение дробей и смешанных чисел. Чтобы умножить обыкновенные дроби надо отдельно умножить числители, отдельно — знаменатели.

Кстати, перед этим лучше их сократить (если это возможно), чтобы упростить дальнейшие вычисления. Если мы умножаем число на дробь, то число необходимо представить в виде дроби со знаменателем 1, а затем умножать как обычно.

Другими словами — число умножается (ТОЛЬКО!) на числитель. При умножении смешанных чисел надо перевести их в неправильные дроби. Для этого знаменатель умножаем на целую часть, прибавляем числитель, результат записываем в числитель, знаменатель без изменений. И примерчик: Деление дробей и смешанных чисел.
И примерчик: Деление дробей и смешанных чисел. Чтобы разделить дробь на дробь надо заменить знак деления на знак умножения, а вторую дробь перевернуть вверх тормашками.

При умножении смешанных чисел переводим их в неправильные дроби и действуем также, как с обычными дробями. Я попыталась собрать здесь всё, что пригодится в решении различных примеров с обыкновенными дробями и надеюсь, что эта статья будет тебе полезна. Успехов в учебе!

Действия с дробями

  1. Как сократить дробь?
  2. Как сложить, вычесть, умножить или разделить дроби?
  3. Как привести дроби к общему знаменателю?

Тема этой статьи может показаться простой, ведь речь пойдет о вещах, которые должны быть известны с 5–6 класса.

Однако многие старшеклассники и даже студенты неуверенно себя чувствуют, когда приходится работать с дробями.В некоторых случаях человек ловко использует аппарат дифференциального исчисления для поиска экстремума, но потом не справляется со сравнением двух дробей при определении максимума функции.Вычисление выражений вроде (414−2)⋅623(4 \frac{1}{4}-2)\cdot 6 \frac{2}{3}(441​−2)⋅632​ у многих вызывает сложности.Для того чтобы уверенно себя чувствовать на экзамене, необходимо уметь выполнять все упражнения, встречающиеся в этой главе. Речь пойдет о сокращении дробей, а также их сложении, вычитании, умножении и делении.Если вы не очень уверенно себя чувствуете, когда речь заходит о различных видах дробей (обыкновенные, смешанные, десятичные и т.д.), или не помните, что такое числитель или знаменатель дроби, то прочитайте статью .Числитель и знаменатель дроби можно разделить или умножить на одно и то же число.

Дробь, которую мы при этом получим, равна исходной дроби.Когда мы делим числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы дробь стала проще, мы занимаемся сокращением дробей.Сократим дробь 1015\frac{10}{15}1510​.Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на 555.1015=2⋅53⋅5=23\frac{10}{15}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{2}{3}1510​=3⋅52⋅5​=32​Перед тем как приступать к действиям с дробями, их бывает полезно сократить. Также постарайтесь сокращать слишком страшные дроби, которые получаются во время промежуточных вычислений.Чтобы сократить дробь ab\frac{a}{b}ba​, нужно вычислить наибольший общий делитель НОД(a,b)\text{НОД}(a,b)НОД(a,b) и поделить на него числитель и знаменатель дроби.Для того чтобы вычислить НОД\text{НОД}НОД двух чисел, используют алгоритм Евклида. Однако на практике гораздо проще постепенно делить (сокращать) числитель и знаменатель на общие делители, которые ищутся с помощью .Например, можно заметить, что в дроби 2466\frac{24}{66}6624​ числитель и знаменатель – четные числа.

Поэтому на 222 эту дробь точно можно сократить: 2466=1233\frac{24}{66}=\frac{12}{33}6624​=3312​. Теперь можно увидеть, что оба числа делятся на 333. Сокращаем дальше: 1233=411\frac{12}{33}=\frac{4}{11}3312​=114​. Получили несократимую дробь.Дробь ab\frac{a}{b}ba​ является несократимой, если НОД(a,b)=1\text{НОД}(a,b)=1НОД(a,b)=1.Сократите 3045\frac{30}{45}4530​.
Получили несократимую дробь.Дробь ab\frac{a}{b}ba​ является несократимой, если НОД(a,b)=1\text{НОД}(a,b)=1НОД(a,b)=1.Сократите 3045\frac{30}{45}4530​. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).Проверить ответ Сократите 8517\frac{85}{17}1785​.Проверить ответ Нет ничего проще, чем сложение дробей с одинаковым знаменателем.Сложить 27\frac{2}{7}72​ и 37\frac{3}{7}73​ — это все равно, что сложить 222 куска торта, разрезанного на 777 частей, и 333 куска того же торта.

Получится 2+3=52+3=52+3=5 кусков торта, или 57\frac{5}{7}75​.Вычислите 35−15\frac{3}{5}-\frac{1}{5}53​−51​.

В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).Проверить ответ Сложение дробей с разными знаменателями — это уже задачка посложнее.

Как можно сложить, например, кусок пиццы, порезанной на 555 частей, с куском пиццы, порезанной на 444 части?

Иными словами, как сложить 15\frac{1}{5}51​ пиццы и 14\frac{1}{4}41​ пиццы?

Какую часть целой пиццы мы в результате получим?Для того чтобы это сделать, необходимо порезать пиццу на еще меньшие куски. Если мы возьмем пиццу с 5⋅4=205\cdot 4=205⋅4=20 кусками, то ее 444 куска будут равны 15\frac{1}{5}51​, а 555 кусков — 14\frac{1}{4}41​ целой пиццы.

Получается, что 15+14=420+520=920\frac{1}{5}+\frac{1}{4}=\frac{4}{20}+\frac{5}{20}=\frac{9}{20}51​+41​=204​+205​=209​.То есть сначала необходимо выбрать общий знаменатель, затем привести дроби к этому знаменателю, а затем сложить числители этих дробей.Общий знаменатель — это такое число, которое делится на каждый из знаменателей складываемых (или вычитаемых) дробей.Например, произведение знаменателей всегда делится на каждый из знаменателей.Найдите произведение знаменателей дробей 27\frac{2}{7}72​ и 34\frac{3}{4}43​.Проверить ответ Найдите произведение знаменателей дробей 15\frac{1}{5}51​ и 43\frac{4}{3}34​.Проверить ответ Найдите произведение знаменателей дробей 26\frac{2}{6}62​ и 32\frac{3}{2}23​.Проверить ответ Как же теперь привести дроби 27\frac{2}{7}72​ и 34\frac{3}{4}43​ к знаменателю 282828?Вспоминаем, что если умножить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Например, 15\frac{1}{5}51​ и 210\frac{2}{10}102​ — это одно и тоже число.То есть нужно домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получился общий знаменатель дробей (в случае дробей 27\frac{2}{7}72​ и 34\frac{3}{4}43​ — число 282828).Числитель и знаменатель дроби 27\frac{2}{7}72​ нужно умножить на 444: 27=2⋅47⋅4=828\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 4}{7\cdot 4}=\frac{8}{28}72​=7⋅42⋅4​=288​,— а числитель и знаменатель 34\frac{3}{4}43​ — на 777: 34=3⋅74⋅7=2128\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 7}{4\cdot 7}=\frac{21}{28}43​=4⋅73⋅7​=2821​.Теперь можно без труда сложить получившиеся дроби: 828+2128=2928=1128\frac{8}{28}+\frac{21}{28}=\frac{29}{28}=1 \frac{1}{28}288​+2821​=2829​=1281​.Общая формула, которой можно пользоваться для сложения дробей: ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}ba​+dc​=bdad+bc​Пользуясь этой формулой, мы получим, что 13+16=1⋅6+3⋅13⋅6=918\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 6+3\cdot 1}{3\cdot 6}=\frac{9}{18}31​+61​=3⋅61⋅6+3⋅1​=189​. Как мы видим, эту дробь можно сократить на 999.

Получится 12\frac{1}{2}21​.Можно ли сразу получить дробь, которую не надо было бы сокращать, то есть дробь с наименьшим возможным знаменателем?Да, можно! Для этого вместо перемножения знаменателей необходимо вычислить их .

То есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. Наименьшее общее кратное чисел bbb и ddd обозначается НОК(b,d)\text{НОК}(b,d)НОК(b,d).Например: НОК(3,6)=6\text{НОК}(3,6)=6НОК(3,6)=6 НОК(10,15)=30\text{НОК}(10,15)=30НОК(10,15)=30.Для того чтобы вычислить НОК, требуется разложить числа на простые множители, а затем для каждого простого делителя, который входит в разложение хотя бы одного из чисел, выбрать максимальную степень, в которой он входит в разложения.Например, чтобы вычислить НОК(45,30)\text{НОК}(45,30)НОК(45,30), разложим числа на множители:45=3⋅3⋅545=3\cdot 3\cdot 545=3⋅3⋅5,30=2⋅3⋅530=2\cdot 3\cdot 530=2⋅3⋅5.Число 333 входит в разложения в максимальной степени 222, а числа 222 и 555 — в степени 111.

Рекомендуем прочесть:  Анализ емкости рынка пример

Поэтому НОК равно 2⋅32⋅5=902\cdot 3^2\cdot 5=902⋅32⋅5=90.Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 38\frac{3}{8}83​ и 512\frac{5}{12}125​.Проверить ответ Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 25\frac{2}{5}52​ и 76\frac{7}{6}67​.Проверить ответ Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 285\frac{2}{85}852​ и 1817\frac{18}{17}1718​.Проверить ответ После того как общий знаменатель найден, нужно привести дроби к этому знаменателю. То есть домножить числитель и знаменатель каждой дроби на такое число, что в знаменателе получится общий знаменатель.Например, для дробей 845\frac{8}{45}458​ и 730\frac{7}{30}307​ общий знаменатель равен 909090.

Чтобы получить в знаменателе 909090, число 454545 нужно умножить на 222, а число 303030 — на 333. Получим:845+730=8⋅290+7⋅390=16+2190=3790\frac{8}{45}+\frac{7}{30}=\frac{8\cdot 2}{90}+\frac{7\cdot 3}{90}=\frac{16+21}{90}=\frac{37}{90}458​+307​=908⋅2​+907⋅3​=9016+21​=9037​.В общем виде этот подход можно описать так.Чтобы сложить дроби ab\frac{a}{b}ba​ и cd\frac{c}{d}dc​, вычислите НОК(b,d)\text{НОК}(b,d)НОК(b,d) и числа b1=НОК(b,d)bb_1=\frac{\text{НОК}(b,d)}{b}b1​=bНОК(b,d)​ и d1=НОК(b,d)dd_1=\frac{\text{НОК}(b,d)}{d}d1​=dНОК(b,d)​. Тогда ab+cd=a⋅b1b⋅b1+c⋅d1d⋅d1=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot b_1}{b\cdot b_1}+\frac{c\cdot d_1}{d\cdot d_1}=ba​+dc​=b⋅b1​a⋅b1​​+d⋅d1​c⋅d1​​==ab1НОК(b,d)+cd1НОК(b,d)=ab1+cd1НОК(b,d)=\frac{ab_1}{\text{НОК}(b,d)}+\frac{cd_1}{\text{НОК}(b,d)}=\frac{ab_1+cd_1}{\text{НОК}(b,d)}=НОК(b,d)ab1​​+НОК(b,d)cd1​​=НОК(b,d)ab1​+cd1​​То, что написано выше, выглядит сложно, однако при достаточной тренировке этот метод сложения является самым эффективным.Найдите сумму дробей 718\frac{7}{18}187​ и 724\frac{7}{24}247​.

В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).Проверить ответ Найдите сумму дробей 913\frac{9}{13}139​ и 139\frac{1}{39}391​. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).Проверить ответ Найдите сумму дробей 334\frac{3}{34}343​ и 910\frac{9}{10}109​. В ответе запишите обыкновенную дробь (после сокращения, через / ).Проверить ответ Умножать и делить дроби проще, чем складывать и вычитать.Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители, перемножить их знаменатели, а затем поделить первое произведение на второе:ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно вторую дробь сначала «перевернуть», а затем перемножить первую дробь и перевернутую вторую дробь:ab÷cd=ab⋅dc=a⋅db⋅c\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}ba​÷dc​=ba​⋅cd​=b⋅ca⋅d​Найдите произведение 611\frac{6}{11}116​ и 23\frac{2}{3}32​.

В ответе запишите обыкновенную дробь (после сокращения, через / ).Проверить ответ Перед умножением и делением дроби лучше сокращать, чтобы работать с меньшими числами. При этом сокращать дроби можно и «по диагонали» (перед умножением): сокращать числитель одной дроби со знаменателем другой дроби.Рассмотрим произведение 611⋅23\frac{6}{11}\cdot\frac{2}{3}116​⋅32​. Числитель первой дроби и знаменатель второй дроби делятся на 333.

Отсюда: 611⋅23=3⋅211⋅23⋅1=211⋅21=2⋅211⋅1=411\frac{6}{11}\cdot\frac{2}{3}=\frac{3\cdot 2}{11}\cdot\frac{2}{3\cdot 1}=\frac{2}{11}\cdot\frac{2}{1}=\frac{2\cdot 2}{11\cdot 1}=\frac{4}{11}116​⋅32​=113⋅2​⋅3⋅12​=112​⋅12​=11⋅12⋅2​=114​.Приведем еще один пример. Пусть нам надо умножить 3539\frac{35}{39}3935​ на 2625\frac{26}{25}2526​.
Пусть нам надо умножить 3539\frac{35}{39}3935​ на 2625\frac{26}{25}2526​. Если решать этот пример «в лоб», придется найти произведения 35⋅2635\cdot 2635⋅26 и 39⋅2539\cdot 2539⋅25, а делать это очень не хочется.

Зато можно заметить, что числитель первой дроби и знаменатель второй дроби делятся на 555, а числитель второй дроби и знаменатель первой дроби делятся на 131313. Сократим дроби перед умножением: 3539⋅2625=5⋅73⋅13⋅2⋅135⋅5=73⋅25=7⋅23⋅5=1415\frac{35}{39}\cdot \frac{26}{25}=\frac{5\cdot 7}{3\cdot 13}\cdot\frac{2\cdot 13}{5\cdot 5}=\frac{7}{3}\cdot\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 2}{3\cdot 5}=\frac{14}{15}3935​⋅2526​=3⋅135⋅7​⋅5⋅52⋅13​=37​⋅52​=3⋅57⋅2​=1514​Вычислите 13÷16\frac{1}{3}\div \frac{1}{6}31​÷61​.Проверить ответ Вычислите 2324÷4636\frac{23}{24}\div\frac{46}{36}2423​÷3646​.Проверить ответ А как умножить, например, 3233 \frac{2}{3}332​ на 1271 \frac{2}{7}172​?Если вам даны смешанные дроби, всегда преобразовывайте их в неправильные простые дроби, прежде чем умножать, делить, возводить в степень или извлекать корень. 323⋅127=113⋅97=9921=337=4573 \frac{2}{3} \cdot 1 \frac{2}{7}= \frac{11}{3} \cdot \frac{9}{7}=\frac{99}{21}=\frac{33}{7}=4 \frac{5}{7}332​⋅172​=311​⋅79​=2199​=733​=475​.Перемножьте 1121 \frac{1}{2}121​ и 1131 \frac{1}{3}131​.Проверить ответ Многие школьники, пренебрегая этим простым правилом, совершают ошибки в примерах, подобных этому: 449÷494 \frac{4}{9}\div \frac{4}{9}494​÷94​.В таком примере возникает желание срезать углы, сократить что-нибудь раньше времени.А какой ответ в примере 449÷494 \frac{4}{9}\div \frac{4}{9}494​÷94​ на самом деле правильный?Проверить ответ Еще теория по теме :

Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения

Как работает сервис Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, — вычитание.

В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами.

Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число. Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей.

Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так: 58-28 В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5−2=3.

Получается, что 58-28=38. Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы.

Сформулируем его. Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде ab-cb=a-cb. Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры. Вычтите из дроби 2415 обыкновенную дробь 1715.

Решение Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24.

Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 715.

Наши подсчеты можно записать так: 2415-1715=24-1715=715 Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее. Найдите разность 3712-1512. Решение Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 3712-1512=37-1512=2212 Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 116. Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 116=156.

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю.

Сформулируем определение: Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Рассмотрим на примере, как это делается. Вычтите из 29 дробь 115. Решение Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению.

В данном случае НОК равно 45.

Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5, а для второй – 3. Подсчитаем: 29=2·59·5=1045115=1·315·3=345 У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 1045-345=10-345=745 Краткая запись решения выглядит так: 29-115=1045-345=10-345=745.

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Найдите разность 199 — 736. Решение Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 769 и 736.

Считаем ответ: 7636-736=76-736=6936 Результат можно сократить на 3 и получить 2312. Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть.

Итоговый ответ — 11112. Краткая запись всего решения — 199-736=11112. Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей.

Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере. Найдите разность 8321 – 3.

Решение 3 – то же самое, что и 31. Тогда можно подсчитать так: 8321-3=2021. Слишком сложно? Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу Опиши задание Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа.

Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби 8321 при выделении целой части получится 8321=32021. Теперь просто вычтем 3 из него: 32021-3=2021. Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность.

Проиллюстрируем это примером. Найдите разность: 7-53. Решение Сделаем 7 дробью 71.

Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7-53=513. Есть и другой способ произвести расчеты.

Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа. Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1. После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

Вычислите разность 1 065 -1362. Решение Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065-1362=(1064+1)-1362 Теперь нам нужно найти ответ.

Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064+1-1362.

Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 11.

Получается, что 1-1362=11-1362=6262-1362=4962. Теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 10644962. Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен.

Вот такие вычисления вышли бы у нас: 1065-1362=10651-1362=1065·621·62-1362=6603062-1362==66030-1362=6601762=106446 Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

Вычислите разность 644 — 735. Решение Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть. 735=1435 Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: 630-35=(629+1)-35=629+1-35=629+25=62925 Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей.

Рассмотрим, как использовать их при решении примеров. Найдите разность 244-32-56. Решение Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 254-32, а потом отнимем от нее последнюю дробь: 254-32=244-64=194194-56=5712-1012=4712 Преобразуем ответ, выделив из него целую часть.

Итог — 31112. Краткая запись всего решения: 254-32-56=254-32-56=254-64-56==194-56=5712-1012=4712=31112 Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам. Н айдите разность 98+1720-5+35. Решение Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98+1720-5+35=98+1720-5-35=98-5+1720-35 Завершим расчеты: 98-5+1720-35=93+1720-1220=93+520=93+14=9314 Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сайт учителя Лычкиной

  • Чтобы привести дробь (или натуральное число) к новому знаменателю, надо воспользоваться основным свойством дроби:
  • Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
  • Чтобы выполнить деление дроби на дробь, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю.
  • Любое натуральное число можно представить в виде дроби с любым натуральным знаменателем.
  • Произведением дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель — произведением знаменателей этих дробей.
  • Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо сначала привести их к общему знаменателю, а потом применить правило сложения дробей с общим знаменателем.
  • Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.Смешанное число — это сумма натурального числа и правильной дроби.

Натуральное число называется целой частью, а правильная дробь — дробной частью смешанного числа.Например,

— смешанная дробь.

  • Чтобы умножить или разделить смешанные числа, можно представить их в виде неправильных дробей, а затем применить правило умножения или деления обыкновенных дробей.
  • Чтобы сложить смешанные числа, надо сложить отдельно целые части и отдельно дробные части и полученные результаты сложить. Если в результате сложения дробная часть станет неправильной дробью, то из нее надо выделить целую часть и прибавить к целой части результата.
  • Если дробные части смешанных чисел имеют разные знаменатели, то их сначала надо привести к общему знаменателю, а потом применить правило сложения смешанных чисел.
  • Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо вычитание целых и дробных частей выполнить отдельно, а потом результаты сложить. Это выполнимо, если целая и дробная части уменьшаемого соответственно больше целой и дробной части вычитаемого.
  • Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то у целой части уменьшаемого надо занять единицу, представить ее в виде дроби с тем же знаменателем и добавить ее к дробной части уменьшаемого. Затем применить правило вычитания дробей.
  • Внимание! Не надо представлять уменьшаемое и вычитаемое целиком в виде неправильной дроби! Это может привести к вычислительным ошибкам!
  • Если смешанные числа имеют разные знаменатели, то перед вычитанием надо привести их к общему знаменателю, а потом применить правило вычитания смешанных чисел.

Математика. 6 класс

Математика6 классУрок № 1Повторение материала по темам «Обыкновенные дроби» и «Смешанные дроби»Перечень рассматриваемых вопросов:

  1. Действия с дробями.
  2. Повторение понятий обыкновенных и смешанных дробей.
  3. Практическое применение дробей.
  4. Перевод из неправильной дроби в смешанную и обратно.

ТезаурусСумма (разность) дробей с общим знаменателем есть дробь, числитель которой равен сумме (разности) числителей, а знаменатель равен знаменателю данных дробей.Если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя.Дробь называется неправильной, если её числитель больше знаменателя или равен ему.Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.Чтобы умножить натуральное число на дробь, можно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить тот же.Чтобы разделить дробь на дробь, можно делимое умножить на дробь, обратную делителю.Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно её знаменатель умножить на это число.Основная литература

  • Никольский С. М. . Учебник для общеобразовательных учреждений // С.

    М. Никольский, М. К. Потапов, Н.

    Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017.

    — 258 с.

Дополнительная литература

  • Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014.

    — 95 с.

  • Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009.

    — 142 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения Дробь. Любое натуральное число можно представить в виде дроби:Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.Сумма (разность) дробей с общим знаменателем есть дробь, числитель которой равен сумме (разности) числителей, а знаменатель равен знаменателю данных дробей.Основное свойство дроби.Если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Правильные и неправильные дроби.Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя.

  • Найдем наименьший общий знаменатель, то есть найдём НОК (5,7) = 35
  • Разделим наименьший общий знаменатель на знаменатель каждой дроби, то есть найдём дополнительный множитель

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель:Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, их надо привести к общему знаменателю, а затем применить правило сложения (вычитания) дробей с общим знаменателем.Умножение и деление дробей.Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.

Чтобы умножить натуральное число на дробь, можно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить тот же.Частное любых двух натуральных чисел равно дроби, числитель которой равен делимому, а знаменатель – делителю. Смешанные дроби.Неправильную дробь можно представить в виде смешанной дроби. Действия со смешанными дробями.Чтобы сложить (вычесть) две смешанные дроби, надо сложить (вычесть) отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить.

Чтобы умножить или разделить смешанные дроби, можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями.Задача.Муж выпьет кадь воды за 5 дней, а с женой выпьет ту же кадь за 4 дня. Спрашивается, за сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь.Решение.

Примем объём кади за единицу. Разбор заданий тренировочного модуля№ 1. Единичный выбор.№ 2. Выделение цветом.

Действия с дробями: правила, примеры, решения

Как работает сервис Данная статья рассматривает действия над дробями.

Будут сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида AB, где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными.

В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием. Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения.

Если рассмотреть такие дроби, как 35, 2,84, 1+2·34·(5-2), 34+782,3-0,8, 12·2, π1-23+π, 20,5ln 3, то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.

Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:

  1. При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями. Буквенно это выглядит таком образом ab±cd=a·p±c·rs, где значения a, b≠0, c, d≠0, p≠0, r≠0, s≠0 являются действительными числами, а b·p=d·r=s. Когда p=d и r=b, тогда ab±cd=a·d±c·db·d.
  2. При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: ab:cd=ab·dc.
  3. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: ad±cd=a±cd, значения a, c и d≠0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
  4. При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим ab·cd=a·cb·d, где a, b≠0, c, d≠0 выступают в роли действительных чисел.

Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:

  1. применение свойства действий с действительными числами;
  2. применение основного свойства дроби и числовых неравенств.
  3. деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
  4. дробная черта означает знак деления;

С их помощью можно производить преобразования вида: ad±cd=a·d-1±c·d-1=a±c·d-1=a±cd;ab±cd=a·pb·p±c·rd·r=a·ps±c·es=a·p±c·rs;ab·cd=a·db·d·b·cb·d=a·d·a·d-1·b·c·b·d-1==a·d·b·c·b·d-1·b·d-1=a·d·b·cb·d·b·d-1==(a·c)·(b·d)-1=a·cb·d В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении.

Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей. Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Даны дроби 82,7 и 12,7, то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.

Решение Тогда получаем дробь вида 8+12,7. После выполнения сложения получаем дробь вида 8+12,7=92,7=9027=313.

Значит, 82,7+12,7=8+12,7=92,7=9027=313. Ответ: 82,7+12,7=313 Имеется другой способ решения.

Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом: 82,7+12,7=8027+1027=9027=313 Произведем вычитание из 1-23·log23·log25+1 дроби вида 233·log23·log25+1. Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе.

Получим, что 1-23·log23·log25+1-233·log23·log25+1=1-2-233·log23·log25+1 Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю.

Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями. Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю.

То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям. Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение. Рассмотрим на примере сложения дробей 235+1 и 12.

Решение В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2·35+1. Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2, а ко второй 35+1. После перемножения дроби приводятся к виду 42·35+1.

Общее приведение 12 будет иметь вид 35+12·35+1.

Полученные дробные выражения складываем и получаем, что 235+1+12=2·22·35+1+1·35+12·35+1==42·35+1+35+12·35+1=4+35+12·35+1=5+352·35+1 Ответ: 235+1+12=5+352·35+1 Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет. В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.

Рассмотрим на примере 16·215 и 14·235, когда их произведение будет равно 6·215·4·235=24·245.

Тогда в качестве общего знаменателя берем 12·235. Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида. Для этого необходимо произвести умножение 2+16 и 2·53·2+1.

Решение Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2+16·2·53·2+12+1·2·56·3·2+1.

Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5·332+1:1093=5·332+1·9310. Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной.

Для этого числитель и знаменатель меняются местами.

Рассмотрим на примере: 5·332+1:1093=5·332+1·9310 После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь.

Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что 5·332+1:1093=5·33·9310·2+1=5·210·2+1=32·2+1==3·2-12·2+1·2-1=3·2-12·22-12=3·2-12 Ответ: 5·332+1:1093=3·2-12 Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1, тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом.

Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.

Правила, рассмотренные в первой статье , применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.

Необходимо доказать, что A, C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство AD±CD=A±CD равноценно с его областью допустимых значений.

Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда А, С, D должны принимать соответственные значения a0, c0 и d0. Подстановка вида AD±CD приводит разность вида a0d0±c0d0, где по правилу сложения получаем формулу вида a0±c0d0.

Если подставить выражение A±CD, тогда получаем ту же дробь вида a0±c0d0. Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A±CD и AD±CD считаются равными. При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными.

Значит это выражение считается доказываемым равенством вида AD±CD=A±CD. Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители.

Такая дробь может быть упрощена. Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x23·x13+1 и x13+12 или 12·sin 2α и sin a·cos a.

Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели. Слишком сложно? Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу Опиши задание Вычислить:1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2), x-1x-1+xx+1.

Решение

  • Заданные дроби вида x-1x-1+xx+1 с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.
  • Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+1-5-xx+x-2. После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
  • Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:​​​​​​lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg2x+4+4x·(lg x+2) Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби. Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (lg x+2)2из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что lg2x+4+2·lg xx·(lg x+2)=(lg x+2)2x·(lg x+2)=lg x+2x

Рассмотрим двоякий способ решения. Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением.

Получим дробь вида x-1x-1=x-1(x-1)·x+1=1x+1 Значит, x-1x-1+xx+1=1x+1+xx+1=1+xx+1.

В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе. Получим: 1+xx+1=1+x·x-1x+1·x-1=x-1+x·x-xx-1 Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x-1. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя.

Тогда x-1x-1+xx+1=x-1x-1+x·x-1x+1·x-1==x-1x-1+x·x-xx-1=x-1+x·x-xx-1 Ответ: 1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+x-4x+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg x+2x, 3)x-1x-1+xx+1=x-1+x·x-xx-1. В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно.

Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей с добавлением дополниетльных множителей к числителям.

Вычислить значения дробей: 1) x3+1×7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·(2x-4)-sin xx5·ln(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x Решение

  • Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1cos x-x·cos x+x+1(cos x+x)2. Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x-x·cos x+x2.
  • Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3·x7+2·2, тогда к первой дроби x7+2·2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
  • Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться произведение вида x5·ln2x+1·2x-4. Отсюда x4 является дополнительным множителем к первой дроби, а ln(x+1)ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что: x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x+1·x4x5·ln2(x+1)·2x-4-sin x·lnx+1×5·ln2(x+1)·(2x-4)==x+1·x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)=x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)

После чего получаем, что 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x==1cos x-x·cos x+x+1cos x+x2==cos x+xcos x-x·cos x+x2+cos x-xcos x-x·cos x+x2==cos x+x+cos x-xcos x-x·cos x+x2=2·cos xcos x-x·cos x+x2 Ответ: 1) x3+1×7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x=2·cos xcos x-x·cos x+x2.

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель.

Тогда можно применять свойство сокращения. Произвести умножение дробей x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и 3·x213·x+1-2sin2·x-x.

Решение Необходимо выполнить умножение. Получаем, что x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)==x-2·x·3·x213·x+1-2×2·ln x2·ln x+1·sin (2·x-x) Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x2, тогда получим выражение вида 3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x) Ответ: x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)=3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x).

Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и разделить на 3·x213·x+1-2sin2·x-x, тогда это можно записать таким образом, как x+2·xx2·ln x2·ln x+1:3·x213·x+1-2sin(2·x-x), после чего заменить произведением вида x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x) Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень. Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей.

Но рекомендовано использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида ACr справедливо равенство ACr=ArCr. Результат – дробь, возведенная в степень.

Для примера рассмотрим: x0,7-π·ln3x-2-5x+12,5==x0,7-π·ln3x-2-52,5x+12,5 Действия над дробями выполняются по определенным правилам.

На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.

Вычислить 1-xcos x-1cos x·1+1x.

Решение Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1-xcos x и 1cos x, но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение. Тогда при вычислении получаем, что 1+1x=11+1x=xx+1x=x+1x При подстановке выражения в исходное получаем, что 1-xcos x-1cos x·x+1x.

При умножении дробей имеем: 1cos x·x+1x=x+1cos x·x. Произведя все подстановки, получим 1-xcos x-x+1cos x·x.

Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели.

Последние новости по теме статьи

Важно знать!
  • В связи с частыми изменениями в законодательстве информация порой устаревает быстрее, чем мы успеваем ее обновлять на сайте.
  • Все случаи очень индивидуальны и зависят от множества факторов.
  • Знание базовых основ желательно, но не гарантирует решение именно вашей проблемы.

Поэтому, для вас работают бесплатные эксперты-консультанты!

Расскажите о вашей проблеме, и мы поможем ее решить! Задайте вопрос прямо сейчас!

  • Анонимно
  • Профессионально

Задайте вопрос нашему юристу!

Расскажите о вашей проблеме и мы поможем ее решить!

+